Modele de rateau

L`arithmétique de Peano est la théorie instable quintessencielle, et ainsi il y a beaucoup de modèles non standard dénombrables de l`arithmétique de Peano (2 א 02 ^ {aleph_0}-many.) On peut le voir directement en omettant les types de nombres non standard dont seuls les diviseurs finis sont un ensemble arbitraire de nombres premiers finis. Non seulement cela, parce qu`il a un modèle qui est définissable pointwise (chaque élément est définissable), puis il ya des modèles non-isomorphes dénombrables. Ce qui signifie que vous pouvez trouver des modèles qui ne sont pas le modèle standard déjà à la cardinalité dénombrable. Pouvons-nous calculer à l`intérieur d`un modèle non standard de l`arithmétique? Cette question peut être rendue précise de la manière suivante. Nous pouvons naturellement penser à des éléments d`un modèle non standard dénombrable comme $ mathbb Ncup mathbb Qtimesmathbb Z $. Nous savons déjà comment ajouter un nombre naturel $n $ à un nombre $ (p, m) $ assis dans un bloc $p in mathbb Q $: nous obtenons $ (p, m + n) $. Y at-il un modèle non standard, où nous aurions un algorithme pour déterminer $ (p, m) cdot n $, ou encore mieux $ (p, m) + (q, n) $ et $ (p, m) cdot (q, n) $? Mais nous ne pouvons pas! Tennenbaum célèbre montré en 1959 qu`il n`y a pas de modèle non standard dénombrable pour lequel il existe un algorithme pour calculer l`un des ci-dessus (voir ce post). La preuve se résume au fait que tous les codes de modèle non standard dénombrables dans un sous-ensemble algorithmique non déterminable des nombres naturels et être capable de calculer $ (p, m) cdot n $ nous donnerait un algorithme pour déterminer quels numéros sont dans ce très ensemble compliqué. Donc, finalement, nous avons que les nombres naturels sont uniques dans un sens, c`est le seul modèle de l`axiomes Peano dans lequel nous pouvons calculer. Le XXe siècle a connu une succession rapide de développements fondamentaux dans les mathématiques formelles. Beaucoup d`entre eux pourraient être interprétés comme démontrant les limitations de l`approche formelle, mais ils ont plutôt révélé sa complexité cachée. Cantor développa une théorie des collections infinies et Zermelo codifia ses propriétés dans son axiomatisation de la théorie des ensembles.

Dirigée par Skolem, la logique de premier ordre a été développée comme un langage puissant et robuste des mathématiques formelles. Les théorms de Lowenheim-Skolem ont montré qu`une collection d`axiomes ne peut pas déterminer la taille d`un modèle: chaque collection d`axiomes ayant un modèle infini, a également des modèles de chaque cardinalité infinie. (Un modèle pour une collection d`instructions est simplement une structure mathématique dans laquelle les déclarations sont vraies.) Gödel (et Maltsev) a prouvé le théorème d`exhaustivité montrant que chaque collection de déclarations à partir desquelles aucune contradiction ne peut être dérivée a un modèle. Une conséquence puissante de cela, le théorème de compacité, a montré que si chaque fragment fini d`une collection de déclarations a un modèle, alors fait la collection entière (n`importe comment infiniment grand).

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